\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 方程 $x^{3}+y^{3}=3 z^{3}(z \neq 0)$ 无整数解。

  \item 给出 $x^{3}+y^{3}=9 z^{3}$ 的整数解， 从而得知定理 5 中的 “三”是最小的， 即得出定理： 存在正有理数 $r_{0}$ 不能表示为两个非负有理数的立方之和。

  \item 试求 $x^{3}+y^{3}=u^{3}+v^{3}$ 的有理数解。

\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 试证明： $X^{n}-1 \mid X^{m}-1$ 当且仅当 $n \mid m$.

  \item 设 $f(X)=X^{3}+a_{1} X^{2}+a_{2} X+a_{3}$ 的三个复根为 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$, 试用 $f$ 的根表出其各系数。 对 4 次多项式又如何? 对 $n$ 次多项式又如何? 为什么?

  \item 求 $a, b$ 使 $X^{4}+2 X^{3}-21 X^{2}+a X+b$ 的根为等差数列， 并求出此数列。

  \item 在 $\mathbb{Z}[X]$ 中分解 $12 X^{2}+6 X-6$ (分解为不可约因子之积).

  \item 判断下列多项式在 $\mathbb{Q}$ 上是否可约 ( $p$ 为奇素数):

\end{enumerate}
\[
\begin{aligned}
& X^{3}-1001 X^{2}-1, \quad X^{4}+50 X^{2}+2, \quad X^{p}+p X+1, \quad X^{p}-p X+1 . \\
& X^{3}+6 X^{2}+5 X+25, \quad X^{3}+6 X^{2}+11 X+8, \quad X^{4}+8 X^{3}+X^{2}+2 X+5
\end{aligned}
\]
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item 设 $f(X), g(X)$ 是 $F[X]$ 中互素多项式， 求证 $Y f(X)+g(X)$ 在 $F[X, Y]$ 中不可约。

  \item (1) 求 $X^{2}-2 \equiv 0(\bmod 7)$ 的解 $x_{0}=a_{0}$.

\end{enumerate}

 (2) 求 $X^{2}-2 \equiv 0\left(\bmod 7^{2}\right)$ 的解 $x_{1}=a_{0}+a_{1} 7$.

(3) 求 $X^{2}-2 \equiv 0\left(\bmod 7^{3}\right)$ 的解 $x_{2}=a_{0}+a_{1} 7+a_{2} 7^{2}$.

(4) 证明： 对任意正整数 $n, X^{2}-2 \equiv 0\left(\bmod 7^{n+1}\right)$ 有唯一解 $x_{n}$ 使得
\[
x_{n}=a_{0}+a_{1} 7+a_{2} 7^{2}+\cdots+a_{n} 7^{n}
\]
且 $0 \leqslant a_{i} \leqslant 6(i=1, \cdots, n)$.


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 求 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ 满足的整系数首一多项式 $f(x)$, 从而证明其为整数。

  \item 求 $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$ 满足的整系数首一多项式 $f(x)$.

\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 证明：二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中的整数集 $O_{K}$ 是一个整环。

  \item 用连分数方法求出二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})(d=11,13,29,31,34)$ 的基本单位 $\varepsilon$.

\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 设 $R$ 为整环， $p \in R$ 非零、非单位 $p$ 称为素元是指： 若 $p \mid b c(b, c \in R)$, 则 $p \mid b$ 或 $p \mid c$. 试证明： 素元 $p$ 定是不可约元。

  \item 证明： 若 $R$ 是 UFD, 则 $R$ 中的不可约元和素元是同一概念。

  \item 证明：设 $K=Q(\sqrt{10})$, 则 $2 \cdot 3=6=(4+\sqrt{10}) \cdot(4-\sqrt{10})$ 是 6 在 $O_{K}$ 中的两种不同素因子分解。

  \item 试决定有理整数环 $\mathbb{Z}$ 的所有理想。

  \item 试决定域上多项式环 $F[X]$ 的所有理想。

  \item 试证明例 8 中 $R=\mathbb{R}[x, y]$ 的理想 $J=(x, y)$ 不是主理想。

  \item 对 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, 求 $O_{K}$ 中的素数 (不可约元).

\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 求 $\mathbb{Z}$ 中理想的和与积：
\end{enumerate}
\[
(9)+(6),(5)+(6),(4)+(5)+(6),(9)(6),(5)(6),(4)(5)(6)
\]
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item 举出 $O_{K}$ 是 PID 而非 ED 的例子 (除 $K=Q(\sqrt{-19})$ 之外).

  \item 举出 $\mathbb{Z}$ 中和 $Q[X]$ 中， 素理想和极大理想的例子。

  \item 举出 $\mathrm{Q}[X, Y]$ 中素理想而非极大理想的例子。

  \item 分别求 $2,3,5,7,11$ 在 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中的素分解 $(d=-1,-2,-5,2,3,5)$.

  \item 用 “理想的分解” 解释复数分解的不唯一： $3 \cdot 3=9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$.

\end{enumerate}

*7. 对实二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})(1<D<60)$, 用 Minkowski 常数法 (例 10)求类数 $h(d)$.

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item 设 $R$ 为含么交换环。 $r \in R$ 称为幂零元 (nilpotent) 是指： $r^{k}=0$ (对某种指数 $k$ ). $R$ 的幂零元集记为 $\operatorname{Rad}(R)$, 称为环 $R$ 的根 (radical).
\end{enumerate}

 (1)  $\mathrm{R}=\mathbb{Z} / 27 \mathbb{Z}$ 中， $\overline{6}$ 是否为幂零元? 求 $\operatorname{Rad}(R)$.

(2) 证明： $\operatorname{Rad}(R)$ 是 $R$ 的理想。

(3) 证明： $\operatorname{Rad}(R)$ 属于 $R$ 中所有素理想的交。

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item 记 $R=\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}(m \geqslant 2)$. 证明：
\end{enumerate}

 (1)  $R$ 的理想恰为 $(\bar{d})$, 其中 $d \mid m$.

(2) $R$ 的素理想恰为 $(\bar{p})$ ，其中素数 $p \mid m$.

(3) $\operatorname{Rad}(R)=(\overline{\operatorname{rad}(m)})$, 其中 $\operatorname{rad}(m)=\prod_{p l m} p$ 是 $m$ 的不含平方因子的最大因子。

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item 数论中著名的 abc 猜想： 对任意 (小 $)$ 的 $\varepsilon>0$, 存在实数 $K_{\varepsilon}$, 使得只要 $a+b=c(a$, $b, c$ 为互素非零整数), 则必有
\end{enumerate}
\[
\max \{|a|,|b|,|c|\} \leqslant K_{\varepsilon} \operatorname{rad}(a b c)^{1+\varepsilon} .
\]
(注记： 已知只要对 $a b c \equiv 0(\bmod m)$ 时证明 $a b c$ 猜想即可 (对某 $m$ ). 关于多项式的 $a b c$ 猜想已经解决，参见作者书：《高等线性代数》[57].)

 (1) abc 猜想蕴含渐进 Fermat 定理：存在 $n_{0}$ 使当 $n \geqslant n_{0}$ 时，如下 Fermat 方程无互素正整数解：
\[
x^{n}+y^{n}=z^{n}.
\]
 (2) Catalan(卡塔兰) 猜想： 除 8 和 9 之外， 无相邻素数幂。 abc 猜想蕴含渐近 Catalan 定理： Catalan 方程
\[
x^{m}-y^{n}=1
\]
仅有有限多个无正整数解（注记：可设 $m, n \geqslant 3$, 因已知 $x^{m}-y^{2}=1$ 和 $x^{2}-y^{n}=1$ (非 $9-8=1$情形) 无正整数解).

